ここのところ「数式が読みたい数式が読みたい」と…

一つ覚えみたいに書いているが、読みたいのだったら読めばいいじゃないか、ということで、足立恒雄『ガロア理論講義 (日評数学選書)』というのを、ゆっくりじっくり時間をかけながら読んでいる。ただしガロア理論の講義というのは、どこで読んだのか忘れたが、確か大学の数学科で三年次に充当されるのが普通なのだそうで、そんなものが一気に読了できるわけがない。このブログでは開設者の妙ちくりんな意地みたいなものがあって、『純粋理性批判』のような例外はあるが、まがりなりにも通読した書名だけを載せるようにしているのだが、こういう本が相手では、そうも言ってはいられない。
（あ、『純粋理性批判』も読みますからね。間が空くことはあるが、間が空いた後で臆面もなく再開できるかどうかが、「続く」か「続かないか」の分かれ道というのはオサーンの知恵の一つである（￣＾￣））
なんでこの本を選んだのかというと、ガロアという人名に対する憧れとともに、著者の一般向け数学解説書『無限の果てに何があるか―現代数学への招待 (カッパ・サイエンス)』『ルート2の不思議―数学が、人間をつくった (カッパ・サイエンス)』『フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス)』などが、とても面白く読みやすく書かれていたので、同じ著者の手になる本ならば、専門書とはいえ教科書でもあることだし、きっとわかりやすく面白く配慮して書かれてあるに違いないと期待したからである。
期待は裏切られなかった。第一章からして「ギリシャの作図不能問題」と題し、超有名な三大作図不能問題、すなわち定規とコンパスだけを使用しての「立方根」「角の三等分」「円と等しい正方形を描く＝円積問題」の作図が、例外的に可能なことはあっても一般的には不可能であることが、「体」の知識があれば証明が可能であることを紹介し、以って本書全体の導入としているのである。
いかにも面白そうでしょ？問題は私の理解力なのである＿|￣|○
反故紙の裏などに式や図形を書き写し、演習問題は遠慮なく巻末の略解を見ながら、ようやくp17あたりの「立方根と角の三等分が作図不可能である」ことの証明までたどり着いた。
言わんとすることは、次のようなことだと思う。
１．有理数は「体」をなす。これは数学用語で、有理数に加減乗除を施しても、結果として有理数以外のもの、例えば無理数とか複素数とかが出てくることはないという意味である。
２．定規とコンパスを使用した作図ということは、言い換えると加減乗除プラス二次方程式を解くことと等価である（高校数学で出てくる直線の方程式と円の方程式を思い出してください。本書p9）。
３．有理数に有理数の平方根を加えた集合（つまりｘ＋ｙ√αという形で表される数。ただしｘ、ｙ、αはいずれも有理数）も体をなす。これを体の拡大という。
４．拡大された体は、元の体のベクトル空間と見なすことができる。元の体に平方根を付加する拡大を行うごとに、ベクトル空間の次元は２倍ずつ増える。
これが数学的にものすごく不正確な言い方をしていることは自覚しています。ご容赦願います。もうちょっとだけ正確に表現すると、「基底の数が２倍ずつ増える」ということになるらしいです。ぶっちゃけ、有理数に有理数の平方根を加えるといういわゆる２次拡大を行うと、拡大された体（＝２次拡大体）の要素はα₁と√α₂（ただしα_nは、いずれも有理数。以下同じ）にそれぞれ有理数の係数を掛けた和という形で表される。
この２次拡大体をさらに２次拡大すると、その要素はα₁、⁴√α₂、√α₃、⁴√（α₄）³に係数を掛けた和で表される。さらにそれを２次拡大すると…ということらしい。
５．いっぽう、立方根や角の三等分を求めることは、計算で三乗根を求めることと等価である。有理数を三乗根で拡大した体は、ベクトル空間で言うと３次元（基底の数＝３）である。すなわちその要素はα₁、³√α₂、³√（α₃）²に係数を掛けた和で表される。
６．従っていくら演算を繰り返しても、４．と５．が一致することは、永久にありえない（これは本当は背理法で証明します。本書p13）
すみません、今の私では、これ以上わかりやすく説明することはできません。また当然ながら本書では、これらをすべて数学の言葉を使って説明しているのですが、「なぜそのような数学の言葉を使わなければならないのか」「なぜそのような数学の言葉を使うと正確・厳密なのか」も私にはわかりません。